三元二次同余模素数幂的解的等分布

设 $p$ 为固定的奇素数，$Q(x,y,z)=ax^2+bxy+cy^2+dxz+eyz+fz^2$ 为 $\mathbb{Z}[x,y,z]$ 中固定的二次型，其在 $\mathbb{F}_p[x,y,z]$ 中非退化且 $(a(4ac-b^2),p)=1$。设 $(x_0,y_0,z_0)$ 为 $\mathbb{Z}^3$ 中固定点。我们研究形如 $Q(x,y,z)\equiv0\bmod{q}$（其中 $q=p^n$）且 max$\{|x-x_0|,|y-y_0|,|z-z_0|\}\leq N$ 与 $(z,p)=1$ 的同余方程之解 $(x,y,z)$ 的行为。事实上，我们考虑该问题的光滑版本，并在 $n\rightarrow\infty$ 且条件 $N\geq q^{\frac{1}{2}+\varepsilon}$ 下建立渐近公式（从而证明此类解的存在性）。