关于Chen和Liu的一个涉及$n!$的素幂分解的问题

对于固定的素数$p$，令$e_p(n!)$表示$n!$的素因子分解中$p$的指数。Chen和Liu (2007) 提出，对于任意固定的$m$，是否有$\{e_p(n^2!) \bmod m:\; n\in\mathbb{Z}\}=\mathbb{Z}_m$和$\{e_p(q!) \bmod m:\; q {prime}\}=\mathbb{Z}_m$。我们回答了这两个问题，并给出了# \{n<x: n \equiv a \bmod d,\; e_p(n^2!)\equiv r \bmod m\}和# \{q<x: q {prime}, q \equiv a \bmod d,\; e_p(q!)\equiv r \bmod m\}的渐近公式。此外，我们证明了对于每个$h\geq 3$，有$\{n<x: n \equiv a \bmod d,\; e_p(n^h!)\equiv r \bmod m\} \gg x^{4/(3h+1)}$。