端对称连分数与二次同余

我们证明，对于固定的整数 $n \neq \pm2$，同余式 $x^2 + nx \pm 1 \equiv 0 \pmod{\alpha}$ 拥有满足 $0 < \beta < \alpha$ 的解 $\beta$，当且仅当 $\alpha/\beta$ 的连分数展开式的商序列具有有限种可能的不对称类型之一。这推广了旧有的定理：既约有理数 $\alpha/\beta > 1$ 具有对称连分数，当且仅当 $\beta^2 \equiv \pm 1 \pmod{\alpha}$。