两个独立更新过程首次交集的局部渐近行为

我们研究两个独立更新过程的交集，$\rho=\tau\cap\sigma$。假设 $\mathbf{P}(\tau_1 = n) = \varphi(n)\, n^{-(1+\alpha)}$ 且 $\mathbf{P}(\sigma_1 = n) = \tilde\varphi(n)\, n^{-(1+\tilde\alpha)}$，其中 $\alpha,\tilde\alpha \geq 0$，且 $\varphi,\tilde\varphi$ 为缓变函数，我们给出了 $\mathbf{P}(\rho_1>n)$（除 $\min(\alpha,\tilde\alpha)=1$ 的情形外较为直接）的渐近行为，然后给出了 $\mathbf{P}(\rho_1=n)$ 的渐近行为。该结果可视为一种逆更新定理，因为我们已知更新质量函数 $\mathbf{P}(n\in\rho)=\mathbf{P}(n\in\tau)\mathbf{P}(n\in\sigma)$ 的渐近行为来确定概率 $\mathbf{P}(\rho_1=n)$。我们的结果可用于界定与耦合相关的量，特别是更新质量函数的增量 $|\mathbf{P}(n\in\tau)-\mathbf{P}(n-1\in\tau)|$。