永续序列首达时的逐点估计

我们考虑永续序列 $$Y_n = B_1 + A_1 B_2 + \cdots + (A_1\ldots A_{n-1})B_n,$$ 的首达时 $\tau_u = \inf\{n:\; Y_n>u\}$，其中 $(A_n,B_n)$ 是取值于 ${\mathbb R} ^+\times {\mathbb R}$ 的独立同分布随机变量。近来，证明了若干与 $\tau_u$ 相关的极限定理，包括大数定律、中心极限定理和大偏差定理。我们得到了序列 ${\mathbb P}[\tau_u = \log u/\rho ]$（$\rho >0$，$u\to \infty$）的精确渐近性，极大改进了先前的结果。此前，对某些围绕 $k_u$ 的大区间 $I_u$（长度至少以 $\log\log u$ 增长），概率 ${\mathbb P}[\tau_u \in I_u]$ 已被确定。讨论了与随机游动的显著相似与差异。