两个串联队列的超限积压概率的近似

令 $X$ 为 ${\mathbb Z}_+^2$ 上取步长 $(1,0)$、$(-1,1)$ 和 $(0,-1)$ 且概率满足 $\lambda < (\mu_1\neq \mu_2)$ 的约束随机游动;特别地,假设 $X$ 稳定。令 $\tau_n$ 为 $X$ 首次击中 $\partial A_n = \{x:x(1)+x(2) = n \}$ 的时刻。对 $x \in {\mathbb Z}_+^2, x(1) + x(2) < n$,概率 $p_n(x)= P_x( \tau_n < \tau_0)$ 是 $X$ 所表示排队系统的关键性能度量。令 $Y$ 为 ${\mathbb Z} \times {\mathbb Z}_+$ 上增量为 $(-1,0)$、$(1,1)$ 和 $(0,-1)$ 的约束随机游动。令 $\tau$ 为 $Y$ 的分量首次相等的时刻。我们导出 $P_y(\tau < \infty)$ 的如下显式公式:$$P_y(\tau < \infty) = W(y)= \rho_2^{y(1)-y(2)} + \frac{\mu_2 - \lambda}{\mu_2 - \mu_1} \rho_1^{ y(1)-y(2)} \rho_1^{y(2)} + \frac{\mu_2-\lambda}{\mu_1 -\mu_2} \rho_2^{y(1)-y(2)} \rho_1^{y(2)},$$其中 $\rho_i = \lambda/\mu_i$,$i=1,2$,$y \in {\mathbb Z}\times{ \mathbb Z}_+$,$y(1) > y(2)$,并证明对 $x_n = \lfloor nx \rfloor$,$x \in {\mathbb R}_+^2$,$0 < x(1) + x(2) < 1$,$W(n-x_n(1),x_n(2))$ 以相对于 $p_n(x_n)$ 的{\em 指数衰减}的相对误差逼近。我们分析的步骤:1)通过仿射变换将原点 $(0,0)$ 移至 $\partial A_n$ 上的 $(n,0)$;令 $n\nearrow \infty$ 以去除 $x(2)$ 轴上的约束;此步给出极限{\em 不稳定}/{\em 瞬态}约束随机游动 $Y$ 并将 $P_{x}(\tau_n < \tau_0)$ 化为 $P_y(\tau < \infty)$;2)构造 $Y$ 的调和函数基,并用其通过叠加原理计算 $P_y(\tau < \infty)$。该构造涉及使用与游动 $X$ 相关的特征曲面上的共轭点。相对误差指数衰减的证明使用了流形上相关HJB方程的一列子解。