约束随机游动的退出概率与Balayage

令$X$为${\mathbb Z}_+^d$上的约束随机游动，表示稳定Jackson网络的队列长度，$x$为其初始位置。令$\tau_n$为$X$的各分量之和首次等于$n$的时刻。$p_n \doteq P_x(\tau_n < \tau_0)$是$X$所表示排队系统的关键性能度量，稳定性意味着$p_n\rightarrow 0$呈指数级。目前唯一可用于近似$p_n$的解析方法是大偏差分析，其给出$p_n$的指数衰减率。更精细的结果可通过稀有事件模拟获得。本文提出了一种近似$p_n$及相关期望的新方法。该方法分两步：1) 通过仿射变换将原点移至$\tau_n$的退出边界，取极限以消除动力学中的一些约束，从而得到极限不稳定约束游动$Y$；2) 构造$Y$的调和函数基，并利用它们应用线性分析的经典叠加原理。基函数是$\log$-线性函数的线性组合，源自“调和系统”的解，这些图其顶点表示$Y$的“特征曲面”上的点，顶点间的边表示点之间的共轭关系，环表示属于“边界特征曲面”。利用我们的方法，我们推导了$d$级串联队列（d-tandem queues）的$P_x(\tau_n < \tau_0)$的显式、简单且几乎精确的公式，类似于$X$平稳分布的乘积形式公式。同一方法使我们能够近似Balayage算子，该算子将$f$映射到$x \rightarrow {\mathbb E}_x \left[ f(X_{\tau_n}) 1_{\{\tau_n < \tau_0\}} \right]$，适用于二维范围内一系列稳定约束随机游动。我们指出了本文思想如何与更一般的过程和退出边界相关联。