稳定马尔可夫调制约束随机游动出口概率的逼近

设 $X$ 为 ${\mathbb Z}_+^2$ 上的约束随机游动，其增量为 $(1,0)$、$(-1,1)$、$(0,-1)$，跳跃概率分别为 $\lambda(M_k)$、$\mu_1(M_k)$、$\mu_2(M_k)$，其中 $M$ 为不可约非周期有限状态马尔可夫链。过程 $X$ 表示两个串联队列的长度，其到达率为 $\lambda(M_k)$，服务率为 $\mu_1(M_k)$ 与 $\mu_2(M_k)$。我们假设关于 $M$ 的平稳测度的平均到达率小于平均服务率，即假设 $X$ 稳定。令 $\tau_n$ 为 $X$ 的各分量之和首次等于 $n$ 的首达时间。令 $Y$ 为 ${\mathbb Z} \times {\mathbb Z}_+$ 上的随机游动，其增量为 $(-1,0)$、$(1,1)$、$(0,-1)$，概率分别为 $\lambda(M_k)$、$\mu_1(M_k)$、$\mu_2(M_k)$。令 $\tau$ 为 $Y$ 的各分量相等的首达时间。对于 $x \in {\mathbb R}_+^2$，$x(1) + x(2) < 1$，$x(1) > 0$，以及 $x_n = \lfloor nx \rfloor$，我们证明 $P_{(n-x_n(1),x_n(2)),m)}( \tau < \infty)$ 以随 $n\rightarrow \infty$ 指数消失的相对误差逼近 $P_{(x_n,m)}(\tau_n < \tau_0)$。为分析，我们根据 $(X,M)$ 的跳跃概率定义一个特征矩阵。该矩阵特征多项式的 $0$-水平集定义特征曲面；该曲面上的共轭点及特征矩阵的关联特征向量被用于定义（次/超）调和函数，这些函数在我们的分析以及 $P_{(y,m)}(\tau < \infty)$ 的计算/逼近中均起基础作用。