受近期历史激发的随机游动速度

设 $N$ 和 $M$ 为满足 $1\le M\le N$ 的正整数，且 $0<p_0<p_1<1$。在 $\mathbb{Z}$ 上定义过程 $\{X_n\}_{n=0}^\infty$ 如下：在每一步，该过程根据以下机制向右或向左跳跃一步。在前 $N$ 步中，该过程表现为一个随机游动，向右跳跃的概率为 $p_0$，向左跳跃的概率为 $1-p_0$。在随后的步骤中，跳跃机制定义如下：如果在最近的 $N$ 次跳跃中至少有 $M$ 次是向右的，则向右跳跃的概率为 $p_1$；然而，如果在最近的 $N$ 次跳跃中向右的次数少于 $M$，则向右跳跃的概率为 $p_0$。我们计算了该过程的速度。随后，令 $N\to\infty$ 且 $\frac MN\to r\in[0,1]$，并计算极限速度。更一般地，我们将上述问题推广至具有有限个阈值水平 $(M_i,p_i)_{i=1}^l$（高于预阈值水平 $p_0$）的随机游动，以及具有 $l=N$ 个此类阈值的模型。