基于站点的反馈环境中随机游走的暂态、常返性与速度

我们研究了 $\mathbb{Z}$ 上的随机游走，其演化环境由其自身的轨迹动态决定。站点在 $p$ 和 $q$ 两种模式之间来回切换。从处于 $q$ 模式的站点连续向右跳跃 $R$ 次才能将其切换到 $p$ 模式，而从处于 $p$ 模式的站点连续向左跳跃 $L$ 次才能将其切换到 $q$ 模式。从处于 $p$ 模式的站点，游走以概率 $p$ 向右跳跃，以概率 $1-p$ 向左跳跃；而从处于 $q$ 模式的站点，这些概率分别为 $q$ 和 $1-q$。我们证明了关于随机游走右/左暂态性的尖锐截断，该截断由参数 $\alpha = \alpha(p,q,R,L)$ 的显式函数决定。对于 $\alpha > 1/2$，无论初始环境如何，游走都暂态趋向 $+\infty$；而对于 $\alpha < 1/2$，无论初始环境如何，游走都暂态趋向 $-\infty$。在临界情况 $\alpha = 1/2$ 下，情形更为复杂，游走的行为取决于初始环境。尽管如此，我们仍能在许多情况下给出暂态/常返性的特征描述，包括 $R=1$ 或 $L=1$ 以及 $R=L=2$ 的情况。在非临界情况下，我们还表明游走具有正速度，并在某些情况下能够给出该速度的显式公式。