Chung--Diaconis--Graham 随机过程的混合时间

在 $\mathbf{Z}/q\mathbf{Z}$ 上定义 $(X_n)$ 为 $X_{n+1} = 2X_n + b_n$，其中步长 $b_n$ 独立随机地取 $-1, 0, +1$。已知该随机游走的混合时间对几乎所有奇数 $q$ 至多为 $1.02 \log_2 q$（Chung--Diaconis--Graham，1987），且至少为 $1.004 \log_2 q$（Hildebrand，2008）。我们确定了一个常数 $c = 1.01136\dots$，使得对几乎所有奇数 $q$，混合时间为 $(c+o(1))\log_2 q$。一般地，马尔可夫链 $X_{n+1} = a X_n + b_n$ 模 $q$ 的混合时间（其中 $a$ 为固定的正整数，步长 $b_n$ 在 $\mathbf{Z}$ 中按某给定分布独立同分布选取）与相应自相似类 Cantor 测度（如 Bernoulli 卷积）的熵相关。每当该熵超过 $(\log a)/2$ 时，我们将混合时间估计到 $1+o(1)$ 因子以内。