Kac随机游走在 $n$-球面上以 $n\log n$ 步混合

确定Kac随机游走在球面 $\mathrm{S}^{n-1}$ 上的混合时间是一个长期未决的开放问题。我们证明了Kac游走在 $\mathrm{S}^{n-1}$ 上的总变差混合时间介于 $\frac{1}{2} \, n \log(n)$ 与 $200 \,n \log(n)$ 之间。因此我们的界在常数因子内是最优的，改进了Jiang所得的最佳已知上界 $O(n^{5} \log(n)^{2})$。我们的主要工具是第二作者最近引入的一种“非马尔可夫”耦合，用于获得连续状态空间中某些高维Gibbs采样器的收敛速率。