多元永续序列首达时间的极限定理

我们研究多元永续序列$V_n = Q_1 + M_1 Q_2 + \cdots + (M_1 \ldots M_{n-1}) Q_n$的首达时间$\tau_u = \inf \{ n \geq 1: |V_n| > u \}$，其中$(M_n, Q_n)$是独立同分布的随机变量序列，$M_1$为$d \times d$（$d \geq 1$）具有非负元素的随机矩阵，$Q_1$为$\mathbb R^d$中的非负随机向量。此处$|\cdot|$表示向量范数。当$u \to \infty$时，$\mathbb P (\tau_u < \infty)$的精确渐近式已由Kesten（Acta Math. 1973）给出。本文中我们证明了$\tau_u$的条件弱大数定律：在事件$\{ \tau_u < \infty \}$条件下，当$u \to \infty$时$\frac{\tau_u}{\log u}$依概率收敛于某常数$\rho > 0$。我们也得到了$\tau_u$的条件中心极限定理。我们进一步建立了下概率$\mathbb P (\tau_u \leq (\beta - l) \log u)$当$u \to \infty$时的精确大偏差渐近式，其中$\beta \in (0, \rho)$且$l \geq 0$为满足$l \to 0$（当$u \to \infty$）的消失扰动。我们的结果将Buraczewski等人（Ann. Probab. 2016）从单变量情形（$d=1$）推广到多元情形（$d>1$）。作为推论，我们推导出点概率$\mathbb P (\tau_u = [(\beta - l) \log u] )$与局部概率$\mathbb P (\tau_u - (\beta - l) \log u \in (a, a + m ] )$的精确渐近式，其中$a<0$且$m \in \mathbb Z_+$。我们还对首达时间$\tau_u^y = \inf \{ n \geq 1: \langle y, V_n \rangle > u \}$建立了类似结果，其中$y$为$\mathbb R^d$中$|y| = 1$的非负向量。