超临界 Lamperti 问题的逃逸速率与中心极限定理

对半直线上均值为 $x$ 处的均值漂移满足当 $x \to \infty$ 时 $\mu_1 (x) \to 0$ 的离散时间随机过程的研究被称为 Lamperti 问题。对于 $\mu_1 (x)$ 的阶为 $x^{-\beta}$（其中 $\beta \in (0,1)$）的情形，我们给出了此类过程的精确几乎必然界。该界的阶为 $t^{1/(1+\beta)}$，因此该过程是超扩散但亚弹道的（速度为零）。我们对过程增量的矩作了极小假设（主要结果要求 $(2+2\beta+\varepsilon)$-矩有限，因此四阶矩必然足够），且不假设过程是时齐的或马尔可夫的。在 $x^\beta \mu_1 (x)$ 具有有限正极限的情形下，我们的结果蕴含了强大数定律，加强并推广了 Lamperti 和 Voit 的早期结果。我们证明了一个相伴的中心极限定理，即使在最近邻随机游走的情形下该定理似乎也是新的，尽管我们的结果要更为一般。这回答了 Lamperti 的一个问题。我们还在比以往文献中所见更弱的条件下证明了过程的常返性。我们的大多数结果也涵盖了 $\beta =0$ 的情形。我们通过在生灭链和多维非齐次随机游走上的应用来阐明我们的结果。