无散度随机漂移场中随机游走的中心极限定理——再探讨

在 [Kozma-Toth, Ann. Probab. v 45, pp 4307-4347 (2017)] 中，在以下条件下，建立了双重随机（或无散度）随机环境中随机游走的弱 CLT：1. 假设漂移场对称部分具有严格椭圆性。2. 假设漂移场反对称部分满足 $H_{-1}$。该证明依赖于适应于问题非自伴和非扇形性质的鞅近似（a la Kipnis-Varadhan）。证明的两个实质性技术组成部分是：1. 一个关于无界算子的泛函分析命题，形式上写为 $|L+L^*|^{-1/2}(L-L^*)|L+L^*|^{-1/2}$，其中 $L$ 是从移动随机游走者位置观察的环境过程的无穷小生成元。2. 一个对角热核上界，它直接由 Nash 不等式得出，或者，可选地由 [Morris-Peres, Probab. Theory Rel. Fields. v. 133 pp 245-266 (2005)] 的“演化集”论证得出，该论证仅在假设的严格椭圆性下有效。在本文中，我们给出了同一结果的部分替代证明，该证明仅依赖于泛函分析论证，而不依赖于 Nash 不等式提供的对角热核上界。这种替代证明具有相关性，因为它可以自然地扩展到被推至极限的非椭圆设定，这将在一篇即将发表的论文中给出。本文的目的是以最简单、最透明的方式呈现该论证。