永续序列及其对偶过程超出时间的大偏差估计

在纯粹概率与应用概率的诸多问题中，研究永续序列 $Y_n := B_1 + A_1 B_2 + \cdots + (A_1 \cdots A_{n-1}) B_n$ 的大超出概率具有重要意义，其中 $(A_i,B_i) \subset (0,\infty) \times {\mathbb R}$。Kesten (1973) 和 Goldie (1991) 的开创性论文已建立了 $\{ Y_n \}$ 平稳尾分布的估计。具体而言，众所周知，若 $M := \sup_n Y_n$，则当 $u \to \infty$ 时，${\mathbb P} \left\{ M > u \right\} \sim {\cal C}_M u^{-\xi}$。尽管大量工作致力于将此估计及相关估计推广至更一般的过程，但鲜有研究关注这些过程的路径行为。本文推导了 $\{ Y_n \}$ 大超出时间的尖锐渐近估计。令 $T_u := (\log\, u)^{-1} \inf\{n: Y_n > u \}$ 表示归一化首达时间，我们研究了当 $u \to \infty$ 时，对于集合 $G \subset [0,\infty)$ 的概率 ${\mathbb P} \left\{ T_u \in G \right\}$。我们首先证明，缩放序列 $\{ T_u \}$ 依概率收敛于某常数 $\rho > 0$。此外，若 $G \cap [0,\rho] \not= \emptyset$，则当 $u \to \infty$ 时，${\mathbb P} \left\{ T_u \in G \right\} u^{I(G)} \to C(G)$，其中 $I$ 为某“速率函数”，$C(G)$ 为常数。另一方面，若 $G \cap [0,\rho] = \emptyset$，我们表明其尾行为实际上相当复杂，且可能存在不同的渐近机制。最后，我们将结果推广至相应的向前过程（按 Letac (1986) 的意义理解），即反射过程 $M_n^\ast := \max\{ A_n M_{n-1}^\ast + B_n, 0 \}$，其中 $n \in {\mathbb N}$ 且 $M_0^\ast=0$。