全局扰动随机游走的极限定理

设 $(\xi_1, \eta_1)$, $(\xi_2, \eta_2),\ldots$ 为 $\mathbb{R}^2$ 值随机向量 $(\xi, \eta)$ 的独立副本，其分量可任意相关。定义 $T_n:= \xi_1+\ldots+\xi_{n-1} + \eta_n$ for $n\in\mathbb{N}$，并定义 $\tau(t) := \inf\{n\geq 1: T_n>t\}$ 为进入 $(t,\infty)$ 的第一次通过时间，$N(t) :=\sum_{n\geq 1}1_{\{T_n\leq t\}}$ 为访问 $(-\infty, t]$ 的次数，$\rho(t):=\sup\{n\geq 1: T_n \leq t\}$ 为 $t\in\mathbb{R}$ 对应的最后一次离开时间。论文的基本假设是 $\mathbb{E}[\xi]\in (0,\infty)$。我们证明了 $\tau(t)$ 的弱大数定律以及 $\tau(t)$、$N(t)$ 和 $\rho(t)$ 的强大数定律。若 $\mathbb{E}[\eta^+]<\infty$，则 $\tau(t)$ 的强大数定律成立；若 $\mathbb{E}[\eta^+]=\infty$，则我们在斯科罗赫德空间中为 $(\tau(ut))_{u\geq 0}$ 证明了功能极限定理，经过适当的归一化且不进行中心化。此外，我们提供了在有限维分布下，$(\tau(ut))_{u\geq 0}$、$(N(ut))_{u\geq 0}$ 和 $(\rho(ut))_{u\geq 0}$ 经过适当归一化和中心化后，收敛于 Brownian 运动分布的充分条件。意想不到的是，$(N(ut))$ 所需的中心化通常比 $(\tau(ut))$ 和 $(\rho(ut))$ 所需的中心化 $ut/\mathbb{E}[\xi]$ 更为复杂。最后，我们在最优矩条件下，在斯科罗赫德空间中为 $(N(ut))$ 证明了一个功能极限定理。