重尾情形下带移民随机过程的函数极限定理

设 $(X_k,\xi_k)_{k\in \mathbb {N}}$ 为对 $(X,\xi)$ 的独立同分布副本序列，其中 $X$ 是路径在 Skorokhod 空间 $D[0,\infty)$ 中的随机过程，$\xi$ 为正随机变量。带移民的随机过程 $(Y(u))_{u\in \mathbb {R}}$ 定义为几乎处处有限的求和 $Y(u)=\sum_{k\geq0}X_{k+1}(u- \xi_1-\cdots-\xi_k)1\mkern-4.5mu\mathrm{l}_{\{\xi_1+\cdots+\xi_k\leq u\}}$。当 $\xi$ 的分布属于 $\alpha$-稳定律的吸引域且 $\alpha\in(0,1)$，且过程 $X$ 围绕其均值 $\mathbb{E}[X(t)]$ 适度振荡时，我们对过程 $(Y(ut))_{u\geq 0}$ 当 $t\to\infty$ 得到了函数极限定理。在此情形下，过程 $(Y(ut))_{u\geq0}$ 经适当缩放后，在 Skorokhod 空间 $D(0,\infty)$ 中弱收敛于一个分数阶积分逆稳定从属过程。