带移民的随机过程的渐近性 I：标度极限

设 $(X_1, \xi_1), (X_2,\xi_2),\ldots$ 是配对 $(X,\xi)$ 的独立同分布副本，其中 $X$ 是轨道在 Skorokhod 空间 $D[0,\infty)$ 中的随机过程，$\xi$ 是正随机变量。定义 $S_k := \xi_1+\ldots+\xi_k$, $k \in \mathbb{N}_0$ 和 $Y(t) := \sum_{k\geq 0} X_{k+1}(t-S_k) 1_{\{S_k \leq t\}}$, $t\geq 0$。我们将过程 $(Y(t))_{t \geq 0}$ 称为在更新过程时刻发生移民的随机过程。我们研究当 $t\to\infty$ 时 $(Y(ut))_{u>0}$ 的有限维分布的弱收敛。在 $X$ 的协方差函数在 $(0,\infty)\times (0,\infty)$ 上一致正则变化的假设下，极限过程类相当丰富，包括具有显式协方差函数的高斯过程、分数积分稳定 Lévy 运动及其和（当 $\xi$ 的分布属于具有有限均值的稳定律的吸引域时），以及具有显式（条件）协方差函数的条件高斯过程、分数积分逆稳定从属过程及其和（当 $\xi$ 的分布属于具有无限均值的稳定律的吸引域时）。