关于带移民随机过程收敛至平稳性的一点注记

令 $X_1, X_2,\ldots$ 为 Skorokhod 空间 $D(\mathbb{R})$ 的随机元，$\xi_1, \xi_2, \ldots$ 为正随机变量，使得对 $(X_1,\xi_1), (X_2,\xi_2),\ldots$ 独立同分布。随机过程 $Y(t):=\sum_{k \geq 0}X_{k+1}(t-\xi_1-\ldots-\xi_k)1_{\{\xi_1+\ldots+\xi_k\leq t\}}$, $t\in\mathbb{R}$ 称为更新过程时刻处带移民的随机过程。假设 $\xi_1$ 的分布为非格点且均值有限，同时过程 $X_1$ 衰减足够快，我们证明了在赋予 $J_1$-拓扑的 $D(\mathbb{R})$ 上，当 $t\to\infty$ 时 $(Y(u+t))_{u\in\mathbb{R}}$ 的弱收敛。本文延续了 Iksanov, Marynych and Meiners (2015+) 开启的研究路线。