收缩情形下发散永续年金的功能极限定理

设$\big(M_k, Q_k\big)_{k\in\mathbb{N}}$为$\mathbb{R}^2$值随机向量的独立同分布副本。已知若$Y_n:=Q_1+M_1Q_2+...+M_1\cdot...\cdot M_{n-1}Q_n$几乎必然收敛于随机变量$Y$，则$Y$的分布满足随机不动点方程$Y \overset{d}{=} Q_1+M_1Y$，其中$(Q_1, M_1)$与$Y$独立。在本文中，我们考虑这样一种情形：由于$|Q_1|$以高概率取大值，导致$|Y_n|$依概率发散至$\infty$，而步长为$M_k$的乘法随机游走几乎必然趋于零。在正则变化假设下，我们证明了适当缩放和归一化后的$\log |Y_n|$在装备了$J_1$拓扑的 Skorokhod 空间中弱收敛于一个极值过程。类似的结果也适用于相应的马尔可夫链。证明依赖于一个确定性结果，该结果确立了某些和式向最大函数的$J_1$收敛性，并随后使用了 Skorokhod 表示定理。