GCD 张量及其行列式的正性

设 $S=\{s_{1},s_{2},\ldots,s_{n}\}$ 为 $n$ 个互不相同的正整数的有序集合。阶数为 $m$、维数为 $n$ 的张量 $T_{[S]}=(t_{i_{1}i_{2}\ldots i_{m}}),$ 其中 $t_{i_{1}i_{2}\ldots i_{m}}=GCD(s_{i_{1}},s_{i_{2}},\ldots,s_{i_{m}}),$ 即 $s_{i_{1}},s_{i_{2}},\ldots,s_{i_{m}}$ 的最大公约数 (GCD) 称为集合 $S$ 上的 GCD 张量。关于 GCD 张量的最早结果追溯到 Smith [Proc. Lond. Math. Soc., 1976]，他计算了 GCD 矩阵行列式的值，该矩阵对应集合 $S=\{1,2,\ldots,n\}$，并利用欧拉费普函数；随后 Beslin-Ligh [Linear Algebra Appl., 1989] 证明了所有 GCD 矩阵都是正定的。本文研究了在 $k$ 型乘积中高阶张量的正性。我们证明所有 GCD 张量都是强完全正 (CP)。随后我们证明 GCD 张量是无限可分的。事实上，我们证明对每一个正实数 $r,$ 张量 $T_{[S]}^{\circ r}=(t^{r}_{i_{1}i_{2}\ldots i_{m}})$ 都是强 CP。最后，我们利用欧拉费普函数 $\Phi$ 对 GCD 张量进行分解。利用该分解，我们证明阶数为 $m$、对应集合 $S=\{s_1,\dots,s_n\}$（且该集合为因子封闭集）上的 GCD 张量 $T_{[S]}$ 的行列式（亦称为超行列式）为 $\prod\limits_{i=1}^{n} \Phi(s_{i})^{(m-1)^{(n-1)}}$。