无限维与有限维 Hilbert 张量

对于 $m$ 阶 $n$ 维 Hilbert 张量（超矩阵）$\mathcal{H}_n=(\mathcal{H}_{i_1i_2\cdots i_m})$，$$\mathcal{H}_{i_1i_2\cdots i_m}=\frac1{i_1+i_2+\cdots+i_m-m+1},\ i_1,\cdots, i_m=1,2,\cdots,n$$ 其谱半径不大于 $n^{m-1}\sin\frac{\pi}{n}$，其 $E$-谱半径的一个上界为 $n^{\frac{m}2}\sin\frac{\pi}{n}$。此外，其谱半径关于维数 $n$ 严格递增，其 $E$-谱半径关于维数 $n$ 非减。当阶数为偶数时，无限维和有限维 Hilbert 张量均是正定的。我们还证明了，$m$ 阶无限维 Hilbert 张量（超矩阵）$\mathcal{H}_\infty=(\mathcal{H}_{i_1i_2\cdots i_m})$ 定义了从 $l^1$ 到 $l^p$（$1<p<\infty$）的有界正 $(m-1)$-齐次算子，且相应正齐次算子的范数小于或等于 $\frac{\pi}{\sqrt6}$。