幂 GCD 与幂 LCM 矩阵在特定 gcd-closed 集合上的可除性

设 $(x, y)$ 和 $[x, y]$ 分别表示整数 $x$ 和 $y$ 的最大公约数和最小公倍数。我们用 $|T|$ 表示有限集合 $T$ 的元素个数。设 $a,b$ 和 $n$ 为正整数，令 $S=\{x_1, ..., x_n\}$ 为 $n$ 个互不相同的正整数集合。我们记 $(S^a)$（即 $[S^a]$）为 $n\times n$ 矩阵，其 $(i,j)$ 项为 $(x_i,x_j)$（即 $[x_i,x_j]$）的 $a$ 次方。对于任意 $x\in S$，定义 $G_{S}(x):=\{d\in S: d<x, d|x \ {\rm 且} \ (d|y|x, y\in S)\Rightarrow y\in \{d,x\}\}$。本文证明：若 $a|b$，且 $S$ 为 gcd-closed（即对所有 $1\le i, j\le n$ 的整数 $i,j$，都有 $(x_i, x_j)\in S$），且 $\max_{x\in S}\{|G_S (x)|\}=2$，且满足条件 $\mathcal{G}$（即集合 $S$ 中的任意元素 $x$ 满足要么 $|G_S(x)|\le 1$，要么 $G_S(x)=\{y_1,y_2\}$ 且满足 $[y_1,y_2]=x$ 且 $(y_1,y_2)\in G_S(y_1)\cap G_S(y_2)$），则在矩阵环 $M_{n}({\bf Z})$ 中成立 $(S^a)|(S^b), (S^a)|[S^b]$ 和 $[S^a]|[S^b]$。此外，我们证明存在满足条件 $\mathcal{G}$ 的 gcd-closed 集合 $S$ 使得这些因式分解成立。我们的结果扩展了 2009 年的 Feng-Hong-Zhao 定理。这也部分确认了 Hong 在 [S.F. Hong, Divisibility among power GCD matrices and power LCM matrices, {\it Bull. Aust. Math. Soc.}, doi:10.1017/S0004972725100361] 中提出的猜想。