研究幂 LCM 矩阵相对于幂 GCD 矩阵在 gcd-closed 集合上的可整除性

设 $S=\{x_1,\ldots, x_n\}$ 为一个 gcd-closed 集合（即 $(x_i,x_j)\in S$ 对所有 $1\le i,j\le n$ 均成立）。2002 年，Hong 提出了描述所有 gcd-closed 集合 $S$（其中 $|S|\ge 4$）使得 GCD 矩阵 $(S)$ 在环 $M_{n}(\mathbb{Z})$ 中整除 LCM 矩阵 $[S]$ 的可整除性问题。对于 $x\in S,$，设 $G_S(x):=\{z\in S: z<x, z|x \text{ 且 } (z|y|x, y\in S)\Rightarrow y\in\{z,x\}\}$。2009 年，Feng、Hong 与 Zhao 在 $\max_{x \in S}\{|G_S(x)|\} \leq 2$ 的情形下解答了此问题。2022 年，Zhao、Chen 与 Hong 在 $\max_{x \in S}\{|G_S(x)|\}=3$ 的情形下得到 gcd-closed 集合 $S$ 使得 $(S)|\left[S\right]$ 的必要充分条件，并提出关于 $\max_{x \in S}\{|G_S(x)|\}\ge 4$ 情形下 $(S)|\left[S\right]$ 成立的必要充分条件的猜想。本文从一种新颖的视角确认了 Zhao-Chen-Hong 猜想，从而完全解决了 Hong 的开放问题。