通过半格结构及其 Möbius 函数研究 LCM 型矩阵的奇异性

多年来，许多作者对 LCM 矩阵及其 Hadamard 幂的可逆性进行了大量研究。Bourque 和 Ligh 于 1992 年猜想，在任何 GCD 闭集 $S=\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$ 上的 LCM 矩阵 $[S]=[[x_i, x_j]]$ 均是可逆的，但这一猜想于 1997 年被证明是错误的。然而，目前关于 LCM 矩阵及其 Hadamard 幂仍存在许多由 Hong 提出的开放猜想。本文利用格论结构和 Möbius 函数来解释经典 LCM 矩阵及其 Hadamard 幂的奇异性。同时，我们最终推翻了 Hong 的一些猜想。通过应用初等数学分析，我们证明了对于大多数半格结构，存在一个正整数集合 $S=\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$ 和一个实数 $\alpha>0$，使得 $S$ 具备该结构且幂 LCM 矩阵 $[[x_i, x_j]^\alpha]$ 是奇异的。