幂 GCD 矩阵与幂 LCM 矩阵在特定 GCD 闭合集上的因式分解

对于整数 $x$ 和 $y$，$(x, y)$ 和 $[x, y]$ 分别表示 $x$ 和 $y$ 的最大公约数和最小公倍数。记 $|T|$ 为有限集合 $T$ 的元素个数。设 $a,b$ 和 $n$ 为正整数，令 $S=\{x_1, \cdots, x_n\}$ 为 $n$ 个互不相同的正整数集合。记 $(S^a)$（即 $[x_i,x_j]$ 的 $a$ 次方）为 $n \times n$ 矩阵，其 $(i,j)$ 项为 $(x_i,x_j)$ 的 $a$ 次方（即 $[S^a]$）。对任意 $x\in S$，定义 $G_{S}(x):=\{d\in S: d<x, d|x \ {\rm and} \ (d|y|x, y\in S) \Rightarrow y\in \{d,x\}\}$。本文证明，若 $a|b$ 且 $S$ 为 GCD 闭合（即对所有 $1\leq i, j\leq n$ 的整数 $i,j$，$(x_i, x_j)\in S$），且 $\max_{x\in S}\{|G_S (x)|\}=3$ 且满足任意元素 $y_1,y_2\in G_S(x)$ 满足 $[y_1,y_2]=x$ 且 $(y_1,y_2)\in G_S(y_1)\cap G_S(y_2)$），则在环 $M_{n}({\mathbb Z})$ 中成立 $(S^a)|(S^b)$、$(S^a)|[S^b]$ 和 $[S^a]|[S^b]$。这扩展了 2022 年由陈-洪-赵所获的定理。这也部分确认了洪教授在 [S.F. Hong, Divisibility among power GCD matrices and power LCM matrices, Bull. Aust. Math. Soc., doi:10.1017/S0004972725100361] 中的猜想。