具有最稀疏且平衡生成矩阵的广义 Reed-Solomon 码

我们证明对于任意满足 $n\!\geq\! k\!\geq\! 1$ 的正整数 $n$ 和 $k$，存在一个 $[n,k]$ 广义 Reed-Solomon（GRS）码，它在任何大小为 $q\!\geq\! n\!+\!\lceil\frac{k(k-1)}{n}\rceil$ 的有限域上都具有最稀疏且平衡的生成矩阵（SBGM），其中最稀疏是指生成矩阵的每一行具有可能最少的非零元个数，而平衡是指任意两列的非零元个数相差至多一。Dau 等人（ISIT'13）的先前工作表明，在任何大小为 $q\geq {n-1\choose k-1}$ 的有限域上总存在一个具有 SBGM 的 MDS 码，并且 Halbawi 等人（ISIT'16, ITW'16）表明对于任何素幂 $q$ 存在一个具有 SBGM 的循环 Reed-Solomon 码（即 $n=q-1$）。因此，本工作推广了上述两个先前的结果。