双重非负张量、完全正张量及其应用

矩阵的双非负性概念通过所有元素与 $H$-特征值的非负性推广到双重非负张量。该推广针对任意阶（偶数或奇数）张量定义，而在偶数阶情形退化为非负半正定张量类。我们证明了许多在偶数阶情形为半正定的非负结构张量，在奇数阶情形也确实是双重非负的。作为双重非负张量的重要子类，进一步研究了完全正张量。利用完全正张量的支配性质，我们可以容易地将某些双重非负张量（例如非空 $m$-一致超图在 $m\geq 3$ 时的无符号拉普拉斯张量）排除在完全正张量类之外。建立了双重非负张量锥与完全正张量锥的性质。讨论了其联系与区别。与矩阵情形相比，这向我们展示了不同的现象。利用所提性质，辨识了这两类张量的更多子类。特别地，任意阶的正柯西张量均被证明为完全正的。这给出了一个易于构造的完全正张量子类，对完全正张量分解的研究具有重要意义。提出了一种预处理 Fan-Zhou 算法，可高效验证非负对称张量的完全正性。我们还给出了具有强双重非负张量结构的张量互补问题的解分析。