渐近秩加速定理，重新审视

受快速矩阵乘法及最近渐近张量秩与细粒度复杂性之间联系的启发，我们重新审视矩阵乘法文献中的经典工具，并开发了一种获取超越矩阵乘法的改进渐近秩上界框架。在 1980 年代，Coppersmith-Winograd 和 Strassen 发现了一系列渐近秩加速定理：在特定情境下，可以从张量 $T$ 的边缘秩上界中提取额外项，然后使用这些项获得 $T$ 的改进渐近秩。我们建立了包含这些结果的一般加速定理，使其能够量化改进。两个代表性应用是：(1) 小 Coppersmith-Winograd 张量 $\mathrm{cw}_q$ 的渐近秩小于其边缘秩。例如，我们证明 $\mathrm{cw}_2$ 的渐近秩小于 3.931，改进了 $\underline{\mathrm{R}}(\mathrm{cw}_2)=4$。已知如果 $\mathrm{cw}_2$ 的渐近秩等于 3，这将意味着 $\omega=2$。(2) 对 Strassen 上界的一般性改进：我们获得 $d^{2\omega/3}$ 之上的任意 $d\times d\times d$ 张量的渐近秩上界。为充分利用加速，我们分析了在两个方向都是非平凡直接和的情况下的退化，这是一种之前不清楚能够实现的最优量化界的设置。我们通过一种称为 Strassen 微积分的方法来实现：一种系统性地将此类退化数据转换为使用 Strassen 渐近谱理论获得显式渐近秩界的做法。