关于张量与代数的退化

在当前所有渐近快速矩阵乘法算法中，一个重要的构建块是具有低边界秩的张量，即边界秩等于或非常接近其大小的张量。为了寻找新的渐近快速矩阵乘法算法，理解那些边界秩尽可能小的张量（即所谓的最小边界秩张量）似乎非常重要。我们研究了结合代数的退化与其结构张量在 Strassen 意义下的退化之间的联系。这使我们能够用交换代数的光滑化来描述 $n \times n \times n$ 最小边界秩张量的一个开子集。我们描述了与 Coppersmith-Winograd 张量相关的可光滑化代数，并证明了 Coppersmith 和 Winograd 在“简单构造”中使用的张量的边界秩的下界。