关于 $\mathfrak{sl}_n$ 的结构张量

$\mathfrak{sl}_n$ 的结构张量记为 $T_{\mathfrak{sl}_n}$，是由 $\mathbb{C}$ 上无迹 $n \times n$ 矩阵集合上的李括号双线性运算产生的张量。该张量与被广泛研究的矩阵乘法张量密切相关。研究 $\mathfrak{sl}_n$ 的结构张量可进一步揭示矩阵乘法的复杂性以及寻找具有高秩或边界秩的显式序列张量的“草垛中找草垛”问题。我们旨在针对 $\mathfrak{sl}_3$ 和 $\mathfrak{sl}_4$ 的情形给出该结构张量秩与边界秩的新界。此外，我们还给出了李代数 $\mathfrak{so}_4$ 和 $\mathfrak{so}_5$ 情形下的界。边界秩的下界通过若干近期技术获得，即 Koszul 扁平化、边界替换与边界无幂性。 $T_{\mathfrak{sl}_3}$ 秩的上界通过数值方法获得，这些方法使我们找到了一个显式的秩分解。