2×2矩阵乘法的边界支撑秩为七
计算复杂性
2018-09-26 v1 表示论
量子物理
摘要
我们证明了对应于2×2矩阵乘法的张量的边界支撑秩在复数域上为七。我们通过构造两个多项式来实现这一点，这两个多项式在所有格式为4×4×4且边界秩至多为六的复张量上消失，但在任何与2×2矩阵乘法张量具有相同支撑的张量上不同时消失。这扩展了Hauenstein、Ikenmeyer和Landsberg的工作。我们还给出了2×2矩阵乘法张量的支撑秩在任意域上为七的两个证明：一个证明使用了De Groote的结果，即该张量的分解在夹心变换下唯一，另一个证明通过代入法。这些结果回答了Cohn和Umans提出的一个问题。研究矩阵乘法张量的边界支撑秩与矩阵乘法算法设计相关，因为通过Cohn和Umans的构造，矩阵乘法张量的边界支撑秩的上界可导出矩阵乘法计算复杂性的上界。此外，支撑秩在量子通信复杂性中有应用。
引用
@article{arxiv.1705.09652,
title = {The border support rank of two-by-two matrix multiplication is seven},
author = {Markus Bläser and Matthias Christandl and Jeroen Zuiddam},
journal= {arXiv preprint arXiv:1705.09652},
year = {2018}
}