矩阵乘法的矩多面体不是极大的
计算复杂性
2025-03-31 v1 代数几何
表示论
辛几何
量子物理
摘要
张量的矩多面体,其研究深深植根于不变量理论、表示理论和辛几何,已在众多领域得到应用,从量子信息(纠缠多面体)和代数复杂性理论(GCT 计划与矩阵乘法的复杂性)到优化(缩放算法)。针对代数复杂性理论中的一个公开问题,我们证明了矩阵乘法张量的矩多面体与单位张量的矩多面体之间的分离。作为推论,我们发现矩阵乘法矩多面体不是极大的,即严格包含在相应的 Kronecker 多面体之内。作为另一推论,我们对矩多面体包含关系的一个基于渐近限制的自然运算刻画得到了一个不可能性(no-go)结果。我们将分离和非极大性推广到迭代矩阵乘法张量的矩多面体。我们的结果表明,允许超越两体纠缠的多体纠缠结构的张量网络在表达能力上可以超越投影纠缠对态(PEPS)。我们的证明刻画了张量矩多面体中一致点的成员关系,并通过矩阵子空间的 minrank 与多项式乘法张量建立了联系。作为独立感兴趣的结果,我们扩展了这些技术,得到了矩阵乘法最优边界子秩界的一个新证明。
引用
@article{arxiv.2503.22633,
title = {The moment polytope of matrix multiplication is not maximal},
author = {Maxim van den Berg and Matthias Christandl and Vladimir Lysikov and Harold Nieuwboer and Michael Walter and Jeroen Zuiddam},
journal= {arXiv preprint arXiv:2503.22633},
year = {2025}
}