计算矩多面体——以张量、纠缠与矩阵乘法为焦点

张量是数学、计算机科学和物理学中的基本对象。通过代数几何和表表示性论述对其研究在代数复杂性理论和量子信息领域取得了丰确的成果。特别是，矩多面体被认为在这两个领域起着关键作用。在量子信息中，矩多面体（也称为纠缠多面体）提供了单粒子量子边际问题的框架，并为纠缠提供了几何特征。在代数复杂性中，它们支撑着捕捉渐近张量关系的量子函数。最近，矩多面体也成为计算机科学和优化领域新兴算法的基础。尽管这些矩多面体具有根本性作用且来自多个角度的兴趣，但关于这些矩多面体的许多内容仍未知晓，特别是对于超出$\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2$和$\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2$的张量，仅零星地计算过。我们提出了一种新的算法，用于计算张量的矩多面体（实际上是对任意仰红代数群的矩多面体），该算法基于Franz（J. Lie Theory 2002）的数学描述。该算法使我们能够计算尺度为原有方法的数十倍的张量矩多面体，使我们首次以确定的方式计算了$\mathbb{C}^3\otimes\mathbb{C}^3\otimes\mathbb{C}^3$中所有矩多面体，并以高概率计算了$\mathbb{C}^4\otimes\mathbb{C}^4\otimes\mathbb{C}^4$中的矩多面体（包括$2\times 2$矩阵乘法张量）。我们讨论了这些显式矩多面体如何导致了若干新的理论方向和结果。