矩阵乘法与3x3行列式的新下界

令 $M_{\langle u,v,w\rangle}\in C^{uv}\otimes C^{vw}\otimes C^{wu}$ 表示矩阵乘法张量（并记 $M_n=M_{\langle n,n,n\rangle}$），令 $det_3\in ( C^9)^{\otimes 3}$ 表示视作张量的行列式多项式。对张量 $T$，令 $\underline R(T)$ 表示其边界秩。我们（i）给出首个可手验的代数证明 $\underline R(M_2)=7$；（ii）证明 $\underline R(M_{\langle 223\rangle})=10$ 与 $\underline R(M_{\langle 233\rangle})=14$，此前唯一确定边界秩的非平凡矩阵乘法张量仅为 $M_2$；（iii）证明 $\underline R( M_3)\geq 17$；（iv）证明 $\underline R( det_3)=17$，改进了先前12的下界；（v）证明对所有 $n\geq 25$ 有 $\underline R(M_{\langle 2nn\rangle})\geq n^2+1.32n$（此前仅知 $\underline R(M_{\langle 2nn\rangle})\geq n^2+1$）以及 $4\leq n\leq 25$ 的下界；（vi）证明对所有 $n\geq 21$ 有 $\underline R(M_{\langle 3nn\rangle})\geq n^2+2 n+1$，此前仅知 $\underline R(M_{\langle 3nn\rangle})\geq n^2+2$，以及 $4\leq n\leq 21$ 的下界。我们的结果利用了Buczyńska与Buczyński开创的称为边界无极（border apolarity）的新技术。两个关键要素是：（i）使用与任意张量的边界秩 $r$ 分解相关联的多分次理想；（ii）利用 $T$ 的大对称群限制到 $B_T$-不变理想，其中 $B_T$ 是 $T$ 的对称群的一个极大可解子群。