行列式的新公式及其张量秩与Waring秩的界

我们给出了行列式的一个新显式公式，其包含的项数比通常的莱布尼茨公式少超指数级。作为我们公式的直接推论，我们证明$n \times n$行列式张量的张量秩不大于第$n$个贝尔数，当$n \geq 4$时这远小于先前已知的最佳上界。在特征非零的域上，我们得到了更紧的上界，并且也略微改进了已知的下界。特别地，我们证明在$\mathbb{F}_2$上的$4 \times 4$行列式的张量秩恰等于$12$。我们的结果也改进了当$n \geq 17$时行列式Waring秩的最佳已知上界，并导出了一类可铺满$\mathbb{R}^n$的新的轴对齐多面体。