关于小三阶张量的Strassen秩可加性

我们探讨张量秩的可加性问题。即对两个独立张量，我们研究其直和的秩是否等于各自秩之和。该问题的肯定回答曾被称为Strassen猜想，直至Shitov提出了反例。这些反例并不十分明确，且已知仅作为渐近情形存在于非常大的张量空间中。本文我们证明对某些小三阶张量可加性成立。例如，若其中一个张量的秩至多为6，则可加性成立。或者，若其中一个张量位于任意$k$下的$C^k \otimes C^3 \otimes C^3$中，则可加性也成立。更一般地，若其中一个张量是简洁的且其秩至多比某个线性空间的维数大2，则可加性成立。此外，我们还处理了此类张量的边界秩可加性的若干情形。特别地，我们证明若直和张量包含于$C^4 \otimes C^4 \otimes C^4$中，则边界秩的可加性成立。我们的部分结果在任意基域上均有效。