张量的Kronecker缩放及其在算术电路和算法中的应用
数据结构与算法
2025-04-09 v1 计算复杂性
摘要
我们证明，对于足够大的常数d，平衡三切分张量Pd(x,y,z)=∑A,B,C∈binom{[3d]}{d}:A∪B∪C=[3d]x_Ay_Bz_C的张量秩足够低时，即可得到比由Ryser公式得到的电路在矩阵永久性上指数更小的均匀算术电路。我们表明，同样的低秩假设也意味着对广泛的其他相关计数和决策问题在算法上实现指数级的改进。作为我们主要的方法学贡献，我们证明张量Pn具有理想的Kronecker缩放属性：它们可以有效分解为常数d的Kronecker幂的限制条件之和。我们采用新的技术，基于Steinitz引理，这一方法我们称为Steinitz平衡。我们的方法的一个结果是，所提出的低秩假设（因此也带来了改进的算法）是由Strassen的渐近秩猜想[Progr. Math. 120 (1994)]所暗示的，这是一个近年来取得了引人注目进展的大胆猜想。
引用
@article{arxiv.2504.05772,
title = {Kronecker scaling of tensors with applications to arithmetic circuits and algorithms},
author = {Andreas Björklund and Petteri Kaski and Tomohiro Koana and Jesper Nederlof},
journal= {arXiv preprint arXiv:2504.05772},
year = {2025}
}