三角数倍数为其他三角数时其指标的同余性质

已知对于任意正非平方整数乘子 $k$,存在无穷多个为三角数的三角数倍数。我们分析作为其他三角数倍数的三角数之指标 $\xi$ 的同余性质。我们表明 $\xi$ 模 $k$ 的同余关系中的余数总是成对出现,其和恒等于 $\left(k-1\right)$,总是包含 0 和 $\left(k-1\right)$,且若 $k$ 为素数、或素数的奇次幂、或一个偶平方加一、或一个奇平方减一或减二,则仅含 0 和 $\left(k-1\right)$。若乘子 $k$ 为 $n$ 的三角数的两倍,则余数集合还包含 $n$ 和 $\left(n^{2}-1\right)$;若 $k$ 有整数因子,则余数集合按特定规则包含某因子的倍数。最后,我们找到了余数关于 $k$ 及其因子的代数表达式。我们注意到若干例外情况,且各规则与余数表达式之间存在优先规则。该方法可在数值搜索中剔除那些已知不提供解的 $\left(k-\upsilon\right)$ 个 $\xi_{i}$ 值,其中 $\upsilon$ 为偶数的余数个数。增益通常约为 $k/\upsilon$,对于大的 $k$ 有 $\upsilon\ll k$。