Azumaya 代数的对合

我们考虑局部环化拓扑斯 $(\mathbf{X}, {\mathcal{O}}_{\mathbf{ X}})$ 上次数为 $n$ 的 Azumaya 代数 $A$ 的一般情形，其中后者携带一个（可能是平凡的）对合，记为 $\lambda$。这推广了具有对合的概形上 Azumaya 代数对合的通常概念，进而推广了中心单代数对合的概念。我们提供了一个准则来判断两个扩展 $\lambda$ 的带对合 Azumaya 代数是否局部同构，描述了由此关系得到的等价类，并通过给出一个上同调条件解决了 Azumaya 代数 $A$ 何时 Brauer 等价于一个携带扩展 $\lambda$ 的对合的代数的问题。我们指出，即使在概形的情形下，这些结果也是新颖的，因为我们允许基对象具有分支的、非平凡的对合。我们观察到，如果满足上同调条件，则 $A$ Brauer 等价于一个次数为 $2n$ 且携带对合的 Azumaya 代数。通过与拓扑空间情形的比较，我们证明了整数 $2n$ 是最小的，即使对于具有无不动点对合的非奇异仿射簇 $X$ 也是如此。作为一个附带步骤，我们证明了如果 $R$ 是一个带有对合的交换环，且其不动环 $S$ 是局部的，那么要么 $R$ 是局部的，要么 $R/S$ 是环的二次\'etale 扩张。