与其相反环 Morita 等价的环

我们考虑以下问题：在什么假设下，对于环 $R$，下列一个或多个条件是等价的：(A) $R$ 与一个具有对合的环 Morita 等价，(B) $R$ 与一个具有反自同构的环 Morita 等价，(C) $R$ 与其相反环 Morita 等价。该问题的动机源于 Saltman 的一个定理，该定理大致指出对于 Azumaya 代数所有条件都是等价的。基于最近的“广义双线性型”，我们提出了解决该问题的一般机制，并利用它证明了当 $R$ 是半局部环或 $\mathbb{Q}$-有限环时，(C)$\iff$(B)。我们还获得了类似性质的进一步结果，例如：如果 $R$ 是一个半局部环且 $\mathrm{M}_{n}(R)$ 具有对合，则 $\mathrm{M}_{2}(R)$ 具有对合，并且在进一步的温和假设下，$R$ 本身也具有对合。与此相反，我们证明了 (B) 并不蕴含 (A)。我们的方法也为 Saltman 定理的 Knus-Parimala-Srinivas 证明提供了新的视角。最后，我们给出了一种检验指数为 2 的 Azumaya 代数是否存在对合的方法，并利用该方法构造了此类代数的显式例子。