Qudit Clifford 轨道的第三时刻及基于魔法轨道的 3-design

当局部维数 $d$ 为奇素数时，Qudit Clifford 群仅为 2-design，而非 3-design，这与 qubit 情况有显著区别。这种区别及其对 Clifford 轨道的扩展，对量子信息处理中的许多应用具有深远影响。本文系统性地研究了以第三时刻为焦点的一般 Qudit Clifford 轨道及其在阴影估计中的潜在应用。首先，我们引入阴影范数来量化 Clifford 轨道偏离 3-design 的程度，并阐明了其性质。随后，我们表明，无论是稳压态的轨道，还是任何 Clifford 轨道，其第三规范化帧势和阴影范数均为 $\mathcal{O}(d)$，尽管当 $d\neq 2\mod 3$ 时，第三规范化时刻算子的算子范数可能随着 qudit 数量 $n$ 的增大而呈指数增长。此外，我们证明，任何魔法轨道的阴影范数上界为常数 $15/2$，因此，一个魔法门就足以消除 Qudit 阴影估计中的 $\mathcal{O}(d)$ 开销，弥合 Qudit 系统与 qubit 系统之间的差距。 Furthermore, we 提出了从一个或多个 Clifford 轨道构建近似和精确 3-design（同时针对三个度量标准）的简单方法。值得注意的是，仅需两个 Clifford 轨道即可构建准确的近似 3-design。对于一族无限的局部维数，exact 3-design 可由两个或四个 Clifford 轨道构建。研究过程中，我们阐明了第三 Clifford 张量幂的 commutant 的关键性质及其背后的数学结构。