Clifford 换位子的完备理论

Clifford 群在量子信息科学中扮演着核心角色。它是许多纠错方案的构建模块，并与酉群上 Haar 测量的前三阶矩相匹配——这一性质对广泛的量子算法至关重要，在伪随机性、学习理论、基准测试和纠缠蒸馏中均有应用。理解 Clifford 群许多性质的核心在于 Clifford 换位子：即与 Clifford 酉算子的 $k$ 重张量幂对易的算子集合。先前对这一换位子的理解仅限于受量子比特数 $n$ 约束的相对较小的 $k$ 值。在本工作中，我们发展了 Clifford 换位子的完备理论。我们的第一个结果为该换位子提供了显式正交基，并计算了任意 $n$ 和 $k$ 下的维度。我们还引入了一种由 Pauli 算子的各向同性求和构成的替代且易于操作的基。我们证明该基由置换的乘积（生成酉群换位子）以及至多三个其他算子生成。此外，我们开发了一种图形演算，允许对该基的元素进行图示操作。这些结果带来了丰富的应用：除其他外，我们刻画了所有可测量的幻态度量，并确定了稳定子性质测试的最优策略，其成功概率也为稳定子熵提供了操作论解释。最后，我们证明这些结果同样可推广到具有素数局部维度的多 qudit 系统中。