Clifford群的Schur-Weyl对偶及其应用：性质测试、鲁棒Hudson定理与de Finetti表示

Schur-Weyl对偶是量子信息中无处不在的工具。其核心陈述是：与所有酉算子的张量幂对易的算子空间由张量因子的置换张成。在这项工作中，我们描述了针对Clifford酉算子张量幂的类似对偶理论。Clifford群是量子信息许多子领域中的核心对象，最突出的是在容错理论中。该对偶理论用有限几何给出了简单而清晰的描述。我们展示了其在若干应用中的有效性：（1）我们通过证明“稳定子性”可高效测试，解决了量子性质测试中的一个开放问题：存在一个协议，在给定未知态的六个副本时，能判定它是稳定子态，还是远离稳定子态集合。我们给出了一个相关的Clifford群成员性测试。（2）我们发现稳定子态的张量幂具有增大的对称群。我们提供了相应的de Finetti定理，表明具有此对称性的任意态的约化可由稳定子张量幂的混合很好地近似（在某些情况下是指数级好）。（3）我们表明纯态到稳定子集合的距离可以用其Wigner函数的和负性下界限定。这为和负性（及相关的mana）——一个与容错量子计算相关的度量——提供了新的定量意义。该结果构成了离散Hudson定理的鲁棒推广。（4）我们表明任意阶的复射影设计可由有限数目（与qudit数目无关）的Clifford轨道获得。为证明此结果，我们给出了随机稳定子态任意矩的显式公式。