解开 Clifford 层级的 Weyl 结构

Gottesman 与 Chuang（1999）提出的量子计算隐形传态模型推动了 Clifford 层级的发展。尽管该层级对量子计算具有内在价值，但与这一模型密切相关的魔法态蒸馏的广泛应用，更凸显了理解该层级的重要性。除对角酉矩阵的情形外（Cui 等人，2017；Rengaswamy 等人，2019），目前人们对该层级结构的理解十分有限。我们通过这些层级上酉矩阵的 Weyl（即 Pauli）展开，探究该层级第二与第三层的结构，其第一层为无处不在的 Pauli 群。特别地，我们刻画了标准 Clifford 运算在 Pauli 群上的支撑。由于用第三层酉矩阵共轭一个 Pauli 矩阵会产生无迹 Hermitian Clifford，我们也刻画了它们的 Pauli 支撑。已知半 Clifford 酉矩阵在隐形传态模型中有辅助比特节省，我们通过辛对合探究其 Pauli 支撑。最后，我们证明：在乘以一个 Clifford 之前提下，每一个第三层酉矩阵至少与一个 Pauli 矩阵对易。这可用于归纳证明：在乘以一个 Clifford 之前提下，每一个第三层酉矩阵都支撑于 Pauli 群的一个极大交换子群上。此外，容易看出后者蕴含了由 Beigi 与 Shor（2010）证明的广义半 Clifford 猜想。我们讨论了在量子纠错与 flag gadgets 设计中的潜在应用。