半 Clifford 运算、$\mathcal{C}_k$ 层次结构及容错量子计算的门复杂度

量子隐形传态是容错量子计算的关键要素，全面理解其能力对于最优容错架构的实际实现至关重要。已知稳定子码支持一组自然门集，相较于其他门，这些门更容易通过隐形传态实现。这些门属于由 Gottesman 和 Chuang (Nature \textbf{402}, 390) 引入的所谓 $\mathcal{C}_k$ 层次结构。此外，$\mathcal{C}_k$ 门的一个子集，称为半 Clifford 运算，可以通过比传统隐形传态设置更简单的架构来实现 (Phys. Rev. \textbf{A62}, 052316)。然而，即使对于固定的量子比特数 $n$，$\mathcal{C}_k$ 中的精确门集仍然未知，这阻碍了我们确切了解隐形传态的能力。在本文中，我们根据半 Clifford 运算研究 $\mathcal{C}_k$ 的结构，这些运算通过共轭将 $n$ 量子比特 Pauli 群的至少一个最大阿贝尔子群映射到另一个。我们表明，对于 $n=1,2$，所有 $\mathcal{C}_k$ 门均为半 Clifford 门，这对于 $\{n=3,k=3\}$ 也成立。然而，这对于 $\{n>2,k>3\}$ 不再成立。为了衡量这一隐形传态原语的能力，我们引入了一个称为“隐形传态深度”的量，它表征平均需要多少步隐形传态才能实现给定门。我们通过将门分解为半 Clifford $\mathcal{C}_k$ 门和超出半 Clifford 运算的 $\mathcal{C}_k$ 门来计算隐形传态深度的上界，并比较它们的效率。