通过环上对称矩阵统一克莱夫层级

克莱夫层级是通用量子计算（UQC）的基础概念。引入它是为了表明，在给定某些标准资源的情况下，UQC 可通过量子隐形传态实现。尽管该层级的完整结构仍未被理解，Cui 等人（arXiv:1608.06596）最近描述了层级中对角酉矩阵的结构。他们考虑了其作用在计算基 qudit 态上由该态的多项式函数所表示的 $2^k$ 次单位根描述的对角门，并确定了此类酉矩阵在层级中的层级。对于量子比特系统，我们考虑可由环 $\mathbb{Z}_{2^k}$（模 $2^k$ 整数环）上关于态的二次型描述的 $k$ 层级对角门。这些涉及 $\mathbb{Z}_{2^k}$ 上的对称矩阵，可用于高效描述层级中所有 $2$-局域及某些更高局域性的对角门。我们还提供了它们作用于 Pauli 矩阵上的显式代数描述，从而建立了从低层级对角门出发的自然递归。这涉及 $\mathbb{Z}_{2^k}$ 上的辛矩阵，因此我们的视角将这些门与克莱夫门的二元辛框架统一起来。我们用某些标准门的简单例子补充了描述。除了展示结构外，这些公式可能在如下应用中证明有用：（i）量子电路的经典模拟，尤其通过稳定子秩方法；（ii）逻辑非克莱夫酉矩阵的综合，具体为魔法态蒸馏的替代方案；（iii）超出 Clifford+$T$ 门集的任意酉矩阵分解，或许能导出更浅深度电路。我们的结果表明，某些非对角门可通过将其他二元辛矩阵推广到整数环来理解。