通过非阿贝尔表面码实现的 transversal Clifford 层级门

我们提出了一种完全 2D 的 transversal 实现方案，可实现 Clifford 层级任意层级的相位门，甚至更高层级。我们的构造将逻辑量子位编码在三角空间区域上的非阿贝尔群 G 的量子双重 D(G) 中。通过在空间区域上堆叠由群 2-cocycle 指定的对称性保护拓扑 (SPT) 相，实现逻辑门。Bravyi--König 定理限制了在 D 维 Pauli 稳定子码上由常数深度量子电路可实现的单位门在 D 层级的 Clifford 层级。我们通过仅在 2D 中构造，无需牺牲局域性或容错性，即可突破这一限制，实现 Clifford 层级任意层级的 transversal 单位门，代价是使用非阿贝尔群 G 的量子双重。具体而言，对于 G = D_{4N}，即阶为 8N 的二面体群，我们在逻辑 $\overline{Z}$ 基中实现相位门 $T^{1/N} = \mathrm{diag}(1, e^{i\pi/(4N)})$。在此背景下，我们提出一种非阿贝尔稳定子群形式主义，针对二面体群进行了详细推导。对于 $8N = 2^n$，逻辑门位于 Clifford 层级的第 n 层，并且重要的是，它有一个仅量子位的实现：我们证明它可以每个晶格边缘上 n 个物理量子位的 code 的 Clifford 层级稳定子构建。我们还讨论了向 $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ 和 $\mathbb{Z}_2$ 表面码的 code-switching，可用于该 setup 中的量子纠错。