量子通用性在复合系统中的体现：Clifford 资源的三分论

我们证明，基于 Clifford 门集中的单 qudit 通用性遵循由局部维数 $d$ 的素因数分解决定的三分论。对于素数 $d$，任何不属于 Clifford 群的门都是通用的。对于素数幂维数 $d=p^m$ 且 $m\ge 2$，并非所有非 Clifford 门都是通用的，但可以通过一族延伸量子位 $T$ 门的对角相位门，以及像在保持其他基态不变的情况下交换 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 的置换门来实现。当 $d$ 分解为两两互素的素数幂时，对应的因子之间的类 CNOT 门已足以实现通用性。在这种复合情况下，无需引入显式的魔法门即可实现通用性。我们的结果将高维系统的非 Clifford 资源划分为两大机制：CNOT 类（置换）门或 $T$ 类（对角相位）门。